6. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 15 и 25 соответственно. Найти высоту, проведённую к гипотенузе.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, AB - гипотенуза, равная 25, и AC - катет, равный 15. Нужно найти высоту CH, проведенную к гипотенузе AB.

Шаг 1: Найдем катет BC по теореме Пифагора.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Подставим известные значения:

$$25^2 = 15^2 + BC^2$$ $$625 = 225 + BC^2$$ $$BC^2 = 625 - 225$$ $$BC^2 = 400$$ $$BC = \sqrt{400} = 20$$

Итак, BC = 20.

Шаг 2: Найдем площадь треугольника ABC.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$$

Шаг 3: Выразим площадь треугольника ABC через высоту CH и гипотенузу AB.

Площадь треугольника можно также выразить как половину произведения высоты на основание (в данном случае, гипотенузу):

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB$$

Шаг 4: Найдем высоту CH.

Приравняем два выражения для площади:

$$\frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB = 150$$ $$\frac{1}{2} \cdot CH \cdot 25 = 150$$ $$CH \cdot 25 = 300$$ $$CH = \frac{300}{25} = 12$$

Ответ: 12