6. Через точку С, находящуюся на расстоянии 11 см от центра окружности радиуса 13 см, проведена хорда, делящаяся точкой С на отрезки, длины которых относятся как 1 : 3. Найдите длину этой хорды.

Пусть O - центр окружности, C - точка на расстоянии 11 см от O, AB - хорда, проходящая через C, и AC : CB = 1 : 3. Пусть AC = x, CB = 3x, тогда AB = AC + CB = x + 3x = 4x. Требуется найти длину хорды AB = 4x.

Проведем диаметр DE через точку C. Пусть DC = y, CE = 2R - y, где R - радиус окружности.

Известно, что произведение отрезков хорд, пересекающихся в точке C, равно. В нашем случае:

$$ AC \times CB = DC \times CE $$ $$ x \times 3x = y \times (2R - y) $$

Также, по условию, OC = 11 см, а радиус R = 13 см. Тогда, если C лежит между O и D, то y = R - OC = 13 - 11 = 2 см. Если C лежит между O и E, то y = R + OC = 13 + 11 = 24 см.

Рассмотрим первый случай: y = 2 см.

$$ 3x^2 = 2(2 \times 13 - 2) = 2(26 - 2) = 2 \times 24 = 48 $$ $$ x^2 = 16 $$ $$ x = 4 \text{ см} $$

Тогда AB = 4x = 4 \times 4 = 16 см.

Рассмотрим второй случай: y = 24 см.

$$ 3x^2 = 24(2 \times 13 - 24) = 24(26 - 24) = 24 \times 2 = 48 $$ $$ x^2 = 16 $$ $$ x = 4 \text{ см} $$

Тогда AB = 4x = 4 \times 4 = 16 см.

В обоих случаях длина хорды AB = 16 см.

Ответ: 16 см