5. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВО = 15 см, OD = 18 см, основание ВС на 5 см меньше основания AD. Найдите основания трапеции.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (угол BOC = угол AOD как вертикальные, угол OBC = угол ODA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). Следовательно, можем записать отношение сторон:

$$ \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} $$

По условию, BO = 15 см, OD = 18 см. Пусть BC = x, тогда AD = x + 5.

$$ \frac{15}{18} = \frac{x}{x+5} $$ $$ \frac{5}{6} = \frac{x}{x+5} $$ $$ 5(x+5) = 6x $$ $$ 5x + 25 = 6x $$ $$ x = 25 \text{ см} $$

Тогда BC = 25 см, AD = 25 + 5 = 30 см.

Ответ: BC = 25 см, AD = 30 см