8. Через вершины А и С неравнобедрен- ного треугольника АВС проведена ок- ружность, которая пересекает стороны ВА И ВС в точках Е и D соответствен- но (рис. 172). Какое из данных равенств является верным? BC BA A) = BD BC BE BD Б) = BC BA DE BD B) = AC BC BD BC г) = DE AC

Рассмотрим рисунок 172. Окружность проходит через вершины A и C неравнобедренного треугольника ABC и пересекает стороны BA и BC в точках E и D соответственно.

Нужно найти верное равенство.

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, ∠BAС = ∠BDC и ∠BCA = ∠BEA.

Рассмотрим треугольники BDE и BAC. У них ∠B - общий, ∠BEA = ∠BCA. Следовательно, треугольники BDE и BAC подобны по двум углам.

В подобных треугольниках стороны пропорциональны, значит, \(\frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AC} = \frac{BE}{BC}\)

Отсюда следует, что \(\frac{BD}{DE} = \frac{BA}{AC}\), \(\frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AC}\) и \(\frac{BC}{BE} = \frac{AC}{DE}\), \(\frac{BC}{BE} = \frac{BA}{BD}\)

Следовательно, вариант Г) \(\frac{BD}{DE} = \frac{BC}{AC}\) является верным.

Ответ: Г) \(\frac{BD}{DE} = \frac{AC}{BC}\)