4. Четырехугольник МИКР задан координатами своих вершин M(5; -3), N(1; 2), K(4; 4), P(6; 1). Найдите синус угла между его диагоналями.

4. Даны координаты вершин четырехугольника MNPK: M(5; -3), N(1; 2), K(4; 4), P(6; 1). Необходимо найти синус угла между его диагоналями.

Найдем координаты векторов диагоналей MK и NP:

$$\vec{MK} = (4 - 5; 4 - (-3)) = (-1; 7)$$ $$\vec{NP} = (6 - 1; 1 - 2) = (5; -1)$$

Найдем косинус угла между этими векторами по формуле:

$$\cos θ = \frac{\vec{MK} \cdot \vec{NP}}{|\vec{MK}| \cdot |\vec{NP}|}$$

Скалярное произведение векторов:

$$\vec{MK} \cdot \vec{NP} = (-1) \cdot 5 + 7 \cdot (-1) = -5 - 7 = -12$$

Длины векторов:

$$|\vec{MK}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ $$|\vec{NP}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$

Тогда:

$$\cos θ = \frac{-12}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-12}{5\sqrt{52}} = \frac{-12}{5\sqrt{4 \cdot 13}} = \frac{-12}{5 \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{-6}{5\sqrt{13}}$$

Теперь найдем синус угла, используя основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1$$ $$\sin θ = \sqrt{1 - \cos^2 θ} = \sqrt{1 - (\frac{-6}{5\sqrt{13}})^2} = \sqrt{1 - \frac{36}{25 \cdot 13}} = \sqrt{1 - \frac{36}{325}} = \sqrt{\frac{325 - 36}{325}} = \sqrt{\frac{289}{325}} = \frac{17}{\sqrt{325}} = \frac{17}{\sqrt{25 \cdot 13}} = \frac{17}{5\sqrt{13}} = \frac{17\sqrt{13}}{5 \cdot 13} = \frac{17\sqrt{13}}{65}$$

Ответ: $$\frac{17\sqrt{13}}{65}$$