3. В параллелограмме МИКР MN = 8 см, MP = 7√3 см, ∠М = 30°. Найдите диагонали параллелограмма.

3. В параллелограмме MNPK даны стороны MN = 8 см, MP = 7√3 см и угол ∠M = 30°. Необходимо найти диагонали NP и MK.

Применим теорему косинусов к треугольнику MNP:

$$NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 \cdot MN \cdot MP \cdot \cos M$$

$$NP^2 = 8^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ$$

$$NP^2 = 64 + 49 \cdot 3 - 112\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$NP^2 = 64 + 147 - 112 \cdot \frac{3}{2} = 64 + 147 - 168 = 211 - 168 = 43$$

$$NP = \sqrt{43}$$

Теперь найдем диагональ MK. Угол ∠P = 180° - ∠M = 180° - 30° = 150°.

Применим теорему косинусов к треугольнику MPK:

$$MK^2 = MP^2 + PK^2 - 2 \cdot MP \cdot PK \cdot \cos P$$

$$MK^2 = (7\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot 8 \cdot \cos 150^\circ$$

$$MK^2 = 147 + 64 - 112\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$$

$$MK^2 = 211 + 112\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 211 + 112 \cdot \frac{3}{2} = 211 + 168 = 379$$

$$MK = \sqrt{379}$$

Ответ: $$NP = \sqrt{43}$$ см, $$MK = \sqrt{379}$$ см.