1. В треугольнике АВС АВ = 5 см, ВС = 4 см, а его площадь равна 5√3 см². Найдите третью сторону треугольника, если известно, что угол В – острый.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sinB$$, где S - площадь, AB и BC - стороны треугольника, B - угол между этими сторонами.

Известно, что $$S = 5\sqrt{3}$$ см², AB = 5 см, BC = 4 см. Подставим эти значения в формулу:

$$5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot sinB$$

$$5\sqrt{3} = 10 \cdot sinB$$

$$sinB = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Угол B, для которого синус равен $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, может быть 60° или 120°. Так как по условию угол B острый, то $$B = 60^\circ$$.

Теперь, когда известны две стороны и угол между ними, можно найти третью сторону AC по теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cosB$$

$$AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot cos60^\circ$$

$$AC^2 = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2}$$

$$AC^2 = 41 - 20 = 21$$

$$AC = \sqrt{21}$$ см.

Ответ: $$\sqrt{21}$$