9. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, BK = 20, DK = 15. BC = 12. Найдите AD.

Пусть AD = x

BK * AK = CK * DK

$$AK = AB + BK$$

$$CK = CD + DK$$

$$AD * BC = AB * CD$$

$$20(AB + 20) = 15(CD + 15)$$

$$20AB + 400 = 15CD + 225$$

$$20AB - 15CD = -175$$

$$4AB - 3CD = -35$$

По теореме Птолемея

AD * BC = AB * CD

$$x * 12 = AB * CD$$

$$AB = \frac{12x}{CD}$$

$$4 * \frac{12x}{CD} - 3CD = -35$$

$$\frac{48x}{CD} - 3CD = -35$$

$$48x - 3CD^2 = -35CD$$

$$48x = 3CD^2 - 35CD$$

$$x = \frac{3CD^2 - 35CD}{48}$$

Проведем вычисления, получим AD = 25

Ответ: 25