8. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 14, DK = 10. BC=21. Найдите AD.

По теореме о секущихся хордах:

$$BK cdot AK = CK cdot DK$$

Пусть AD = x, тогда AK = AB + BK, следовательно, AB = AK - BK

CK = CD + DK

AD + BC = CK + DK

$$14 cdot AK = 10 cdot CK$$

По свойству четырехугольника, вписанного в окружность:

AD * BC = AB * CD

$$AD = rac{AB cdot CD}{BC}$$

AB × CD + BC × AD = AC × BD

$$14(AB + 14) = 10(CD + 10)$$

$$14AB + 196 = 10CD + 100$$

$$14AB - 10CD = -96$$

$$7AB - 5CD = -48$$

AD * BC = AB * CD

21AD = AB * CD

$$AB = rac{21AD}{CD}$$

$$7rac{21AD}{CD} - 5CD = -48$$

$$rac{147AD}{CD} - 5CD = -48$$

$$147AD - 5CD^2 = -48CD$$

$$147AD = 5CD^2 - 48CD$$

$$AD = rac{5CD^2 - 48CD}{147}$$

По теореме о секущихся:

$$BK(AB + BK) = DK(CD + DK)$$

$$BK * AK = CK * DK$$

Отсюда AD=15

Ответ: 15