7. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 10, DK=6, ВС = 15. Найдите AD.

Рассмотрим треугольники BCK и ADK.

$$\angle CBK = \angle DAK$$, т.к. опираются на одну и ту же дугу CD.

$$\angle BCK = \angle ADK$$, т.к. опираются на одну и ту же дугу AB.

Следовательно, треугольники BCK и ADK подобны по двум углам.

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны.

$$\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{AK} = \frac{CK}{DK}$$

$$AK = AB + BK$$

$$CK = CD + DK$$

Пусть AD = x.

$$\frac{15}{x} = \frac{10}{AB + 10} = \frac{CD + DK}{6}$$

$$BK \cdot AK = CK \cdot DK$$ (по теореме о секущихся)

$$BK \cdot (BK + AB) = DK \cdot (DK + DC)$$

$$10 \cdot (10 + AB) = 6 \cdot (6 + DC)$$

$$100 + 10AB = 36 + 6DC$$

$$100 - 36 = 6DC - 10AB$$

$$64 = 6DC - 10AB$$

$$32 = 3DC - 5AB$$

$$\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK + AB}$$

$$\frac{15}{AD} = \frac{10}{6 + AB}$$

$$\frac{15}{x} = \frac{10}{6 + AB}$$

$$15(6+AB) = 10x$$

$$90+15AB=10x$$

$$9+1,5AB=x$$

$$x = 9 + 1,5 AB$$

$$\frac{CK}{BK}=\frac{DK}{AK}$$

$$\frac{CD}{15}=\frac{6}{10}$$

$$CD = \frac{15 \cdot 6}{10}= 9$$

$$3 \cdot 9 - 5AB = 32$$

$$27 - 5AB = 32$$

$$-5AB = 5$$

$$AB = -1$$

Тогда используем другое свойство хорд, что $$BK \cdot KA = CK \cdot KD$$.

$$BK=10, DK=6, BC=15$$

Найти AD

Обозначим KD = x, KA = y, тогда BC/AD = BK/AK = KC/DK, или BC/x=15/AD = 10/y = (BK+KA)/(DK+DC)

$$KC = KB+BC = 10 + 15 = 25$$

$$KA = KD+DA$$

$$10*KA = 25 * 6$$

$$10*KA = 150$$

$$KA = 15$$

$$KA = 15$$

$$BC/AD = KC/KD$$

$$15/AD = 25/6$$

$$AD = 15*6/25= 3,6$$

Ответ: 3,6