Число $a+\frac{1}{a}$ — целое. Докажите, что числа $a^2+\frac{1}{a^2}$, $a^3+\frac{1}{a^3}$ также являются целыми.

Question

Вопрос: $Фото задания: Число $a+\frac{1}{a}$ — целое. Докажите, что числа $a^2+\frac{1}{a^2}$, $a^3+\frac{1}{a^3}$ также являются целыми.$ Фото задания

Число $a+\frac{1}{a}$ — целое. Докажите, что числа $a^2+\frac{1}{a^2}$, $a^3+\frac{1}{a^3}$ также являются целыми.

Accepted Answer

Обозначим целое число $a+\frac{1}{a}$ через $n$.

Возведём равенство в квадрат: $n^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}$. Поэтому $a^2+\frac{1}{a^2}=n^2-2$, что является целым числом.
Используем тождество $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$, положив $x=a$, $y=\frac{1}{a}$. Так как $xy=1$, получаем $n^3=a^3+\frac{1}{a^3}+3n$. Следовательно, $a^3+\frac{1}{a^3}=n^3-3n$, что также целое.

Ответ: оба числа целые.

Число \(a+\frac{1}{a}\) — целое. Докажите, что числа \(a^2+\frac{1}{a^2}\), \(a^3+\frac{1}{a^3}\) также являются целыми.

Ответ: