Число диагоналей многоугольника в 4 раза больше числа его сторон. Сколько у него вершин?

Ответ: Пусть n — число сторон многоугольника. Тогда число диагоналей можно выразить как $$D = \frac{n(n-3)}{2}$$. По условию, число диагоналей в 4 раза больше числа сторон, то есть $$D = 4n$$. Получаем уравнение:$$\frac{n(n-3)}{2} = 4n$$Умножим обе части на 2:$$n(n-3) = 8n$$Раскроем скобки:$$n^2 - 3n = 8n$$Перенесем все в одну сторону:$$n^2 - 11n = 0$$Вынесем n за скобки:$$n(n-11) = 0$$Отсюда два решения: n = 0 или n = 11.Так как число сторон не может быть равно 0, то у многоугольника 11 сторон.Число вершин равно числу сторон, поэтому у многоугольника 11 вершин.