Никакие три из шести точек не лежат на одной прямой. Сколько существует: а) незамкнутых; б) замкнутых ломаных, соединяющих эти точки?

Ответ:

1. а) Незамкнутых ломаных:
   Первую точку можно выбрать 6 способами, вторую - 5, третью - 4, четвертую - 3, пятую - 2, шестую - 1. Таким образом, число незамкнутых ломаных равно $$6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$. Однако, направление ломаной не имеет значения, то есть, например, ломаная ABCDEF и ломаная FEDCBA - это одна и та же ломаная. Поэтому, число незамкнутых ломаных равно $$\frac{720}{2} = 360$$.
2. б) Замкнутых ломаных:
   Чтобы получить замкнутую ломаную, нужно первую точку соединить с последней. Таким образом, число замкнутых ломаных равно числу способов выбрать последовательность точек, деленному на число точек, так как циклическая перестановка точек (например, ABCDEF, BCDEFA, CDEFAB и т.д.) даст одну и ту же замкнутую ломаную. Таким образом, число замкнутых ломаных равно $$\frac{720}{6 \times 2} = 60$$. Здесь делим на 6, так как 6 циклических перестановок дают одну и ту же ломаную, и делим на 2, так как порядок обхода точек не имеет значения (ABCDEF = FEDCBA).