Чтобы выполнить некоторое задание, первому рабочему требуется на 10 часов меньше, чем второму, и на 8 часов больше, чем обоим рабочим для совместного выполнения задания. За сколько часов может выполнить это задание первый рабочий?

Решение:

• Обозначим время выполнения задания первым рабочим как t₁, вторым — t₂, и обоими рабочими совместно — t_{совместно}.
• Из условия задачи имеем:
• t₁ = t₂ - 10 (первому рабочему требуется на 10 часов меньше, чем второму)
• t₁ = t_{совместно} + 8 (первому рабочему требуется на 8 часов больше, чем обоим рабочим для совместного выполнения)
• Выразим t₂ через t₁: t₂ = t₁ + 10
• Производительность первого рабочего: V₁ = 1 / t₁ (часть задания в час).
• Производительность второго рабочего: V₂ = 1 / t₂ = 1 / (t₁ + 10) (часть задания в час).
• Совместная производительность: V_{совместно} = V₁ + V₂ = 1 / t₁ + 1 / (t₁ + 10)
• Время совместного выполнения: t_{совместно} = 1 / V_{совместно} = 1 / (1 / t₁ + 1 / (t₁ + 10))
• Подставим выражение для t_{совместно} из второго условия: t₁ - 8 = 1 / (1 / t₁ + 1 / (t₁ + 10))
• Упростим уравнение:
• t₁ - 8 = (t₁ * (t₁ + 10)) / (t₁ + 10 + t₁)
• (t₁ - 8) * (2 * t₁ + 10) = t₁² + 10 * t₁
• 2 * t₁² + 10 * t₁ - 16 * t₁ - 80 = t₁² + 10 * t₁
• 2 * t₁² - 6 * t₁ - 80 = t₁² + 10 * t₁
• t₁² - 16 * t₁ - 80 = 0
• Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
• D = b² - 4ac = (-16)² - 4 * 1 * (-80) = 256 + 320 = 576
• √D = 24
• t₁ = (-b ± √D) / 2a = (16 ± 24) / 2
• Два возможных значения: t₁ = (16 + 24) / 2 = 40 / 2 = 20 или t₁ = (16 - 24) / 2 = -8 / 2 = -4
• Так как время не может быть отрицательным, выбираем t₁ = 20 часов.

Ответ: 20 часов