CLXI. На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевернут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?

Обозначим стакан, стоящий донышком вверх, как «-1», а стоящий правильно - «+1».

Тогда:

15 стаканов стоят правильно (+1), а 1 - перевернут (-1). Необходимо, чтобы все стаканы стали (+1).

Заметим, что при переворачивании 4 стаканов одновременно, число стаканов, стоящих донышком вверх, изменяется на четное число (-4, -2, 0, +2, +4).

Допустим, изначально у нас 1 стакан стоит донышком вверх. После каждого переворота число таких стаканов будет меняться на четное число. Таким образом, оно всегда останется нечетным.

То есть, невозможно сделать так, чтобы все 16 стаканов стояли правильно.

Ответ: нельзя