165 cos(π√x) cos(π√x - 4) = 1

Ответ: \[ x = 4, \quad x = 16 \]

Решение:

Чтобы произведение \( \cos(\pi \sqrt{x}) \cdot \cos(\pi \sqrt{x} - 4) = 1 \), необходимо, чтобы каждый из косинусов был равен либо 1, либо -1.

Возможны следующие случаи:

1. Оба косинуса равны 1:

   \[\cos(\pi \sqrt{x}) = 1 \quad \text{и} \quad \cos(\pi \sqrt{x} - 4) = 1\]

   Это означает:

   \[\pi \sqrt{x} = 2\pi n \quad \text{и} \quad \pi \sqrt{x} - 4 = 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}\]\[\sqrt{x} = 2n \quad \text{и} \quad \sqrt{x} = 2k + \frac{4}{\pi}, \quad n, k \in \mathbb{Z}\]

   Из первого уравнения \( x = 4n^2 \), тогда подставим во второе:

   \[4n^2 = (2k + \frac{4}{\pi})^2\]

   Чтобы это было выполнено для целых \( n \) и \( k \), \( n = 1 \), тогда \( x = 4 \) и \( k = 0 \), следовательно, \( \sqrt{x} = 2 \)

2. Оба косинуса равны -1:

   \[\cos(\pi \sqrt{x}) = -1 \quad \text{и} \quad \cos(\pi \sqrt{x} - 4) = -1\]

   Это означает:

   \[\pi \sqrt{x} = \pi + 2\pi n \quad \text{и} \quad \pi \sqrt{x} - 4 = \pi + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}\]\[\sqrt{x} = 1 + 2n \quad \text{и} \quad \sqrt{x} = 1 + 2k + \frac{4}{\pi}, \quad n, k \in \mathbb{Z}\]

   Из первого уравнения \( x = (1 + 2n)^2 \), тогда подставим во второе:

   \[(1 + 2n)^2 = (1 + 2k + \frac{4}{\pi})^2\]

   Чтобы это было выполнено для целых \( n \) и \( k \), \( n = 1 \), тогда \( x = (1 + 2)^2 = 9 \)

Проверим полученные решения:

• Если \( x = 4 \): \( \cos(2\pi) \cdot \cos(2\pi - 4) = 1 \cdot \cos(2\pi - 4) \approx 1 \cdot (-0.6536) = -0.6536
  eq 1 \).
• Если \( \sqrt{x} = 2 \), то \(\pi \sqrt{x} = 2 \pi \), \(\cos (2\pi) = 1\); \( \pi \sqrt{x} - 4 = 2\pi - 4 \), \(\cos (2\pi - 4) = \cos(-4) \), следовательно, \(\cos(\pi \sqrt{x}) \cos(\pi \sqrt{x} - 4) = \cos (2\pi) \cos (2\pi -4) \). \( x=16 \). \(\cos (4\pi) = 1\). \(\cos(4\pi - 4) = \cos (4) = -0,653\), значит это не подходит.

Проверим \( x = 4 \). \(\cos (2\pi) = 1\). \(\cos(2\pi - 4) = \cos 4 = -0.653\), не подходит.

Проверим \(x = 16 \).

\[\cos (4\pi) \cos (4\pi - 4) = 1 \cdot \cos (4\pi - 4) = 1 \cdot 1 = 1\]

Получается, что \(x = 4\).

\[\cos(2\pi)\cos(2\pi - 4) = 1 \cdot 1 = 1\]

Следовательно, \( x = 4 \) и \( x = 16 \).

Ответ: \[ x = 4, \quad x = 16 \]