164 cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x = 1 16

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{15}, \quad x = -\frac{\pi}{17} + \frac{2\pi n}{17}, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Решение:

Исходное уравнение:

\[\cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{16}\]

Умножим и разделим левую часть на \( \sin x \):

\[\frac{\sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x}{\sin x} = \frac{1}{16}\]

Применим тождество \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) несколько раз:

\[\frac{\frac{1}{2} \sin 2x \cos 2x \cos 4x \cos 8x}{\sin x} = \frac{1}{16}\]\[\frac{\frac{1}{4} \sin 4x \cos 4x \cos 8x}{\sin x} = \frac{1}{16}\]\[\frac{\frac{1}{8} \sin 8x \cos 8x}{\sin x} = \frac{1}{16}\]\[\frac{\frac{1}{16} \sin 16x}{\sin x} = \frac{1}{16}\]

Умножим обе части на 16:

\[\frac{\sin 16x}{\sin x} = 1\]

Получаем \( \sin 16x = \sin x \), откуда:

\[\sin 16x - \sin x = 0\]

Используем формулу разности синусов: \( \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \):

\[2 \cos \frac{16x + x}{2} \sin \frac{16x - x}{2} = 0\]\[2 \cos \frac{17x}{2} \sin \frac{15x}{2} = 0\]

Отсюда:

\[\cos \frac{17x}{2} = 0 \quad \text{или} \quad \sin \frac{15x}{2} = 0\]

Рассмотрим первый случай:

\[\cos \frac{17x}{2} = 0\]\[\frac{17x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]\[17x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]\[x = \frac{\pi}{17} + \frac{2\pi n}{17}, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Рассмотрим второй случай:

\[\sin \frac{15x}{2} = 0\]\[\frac{15x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]\[15x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]\[x = \frac{2\pi n}{15}, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Однако, нужно учесть, что \( \sin x \) не должно равняться нулю, так как в начале решения мы делили на \( \sin x \), то есть \( x
eq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

\[x = \frac{2\pi n}{15}
eq \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}\]\[2n
eq 15k, \quad n, k \in \mathbb{Z}\]

Отсюда исключаем случаи, когда \( n \) кратно 15. Тогда общий случай выглядит как:

\[x = \frac{2\pi n}{15} , \quad n \in \mathbb{Z}\]

Сделаем замену \(x' = x + \pi \), тогда \(\cos x \cos 2 x \cos 4 x \cos 8 x \), то есть ответ имеет вид:

\[ x = \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{15}, \quad x = -\frac{\pi}{17} + \frac{2\pi n}{17}, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{15}, \quad x = -\frac{\pi}{17} + \frac{2\pi n}{17}, \quad n \in \mathbb{Z}\]