163 4 - 4(cos x - sin x) - sin 2x = 0

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \]

Решение:

Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества и упрощения:

Исходное уравнение:

\[4 - 4(\cos x - \sin x) - \sin 2x = 0\]

Заменим \( \sin 2x \) на \( 2 \sin x \cos x \):

\[4 - 4(\cos x - \sin x) - 2 \sin x \cos x = 0\]

Разделим уравнение на 2:

\[2 - 2(\cos x - \sin x) - \sin x \cos x = 0\]

Умножим на -1:

\[\sin x \cos x + 2\cos x - 2\sin x - 2 = 0\]

Сгруппируем члены:

\[\cos x(\sin x + 2) - 2(\sin x + 1) = 0\]

Не получается факторизовать, вернемся к исходному виду:

\[4 - 4\cos x + 4\sin x - 2\sin x \cos x = 0\]

Разделим на 2:

\[2 - 2\cos x + 2\sin x - \sin x \cos x = 0\]

Сгруппируем члены:

\[2(1 - \cos x) + \sin x(2 - \cos x) = 0\]

Используем тождество \( 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \) и \( \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \):

\[4 \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} (2 - \cos x) = 0\]\[2 \sin \frac{x}{2} \left( 2 \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}(2 - \cos x) \right) = 0\]

Отсюда:

\[\sin \frac{x}{2} = 0 \quad \text{или} \quad 2 \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}(2 - \cos x) = 0\]

Первый случай:

\[\frac{x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]\[x = 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Второй случай:

\[2 \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} (2 - \cos x) = 0\]

Умножим обе части на \( 2 \cos \frac{x}{2} \):

\[4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2}(2 - \cos x) = 0\]\[2 \sin x + (1 + \cos x)(2 - \cos x) = 0\]\[2 \sin x + 2 - \cos x + 2 \cos x - \cos^2 x = 0\]\[2 \sin x + 2 + \cos x - \cos^2 x = 0\]\[2 \sin x + 2 + \cos x - (1 - \sin^2 x) = 0\]\[\sin^2 x + 2 \sin x + \cos x + 1 = 0\]\[\sin^2 x + 2 \sin x + 1 + \cos x = 0\]\[(\sin x + 1)^2 + \cos x = 0\]

Т.к. \((\sin x + 1)^2 \ge 0\) и \(\cos x = -(\sin x + 1)^2 \le 0\) то рассмотрим следующие варианты:

• Если \(\cos x = 0\), то \(\sin x = -1\) следовательно \(x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\)
• Если \(\sin x = -1\), то \(\cos x = 0\) следовательно \(x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\)

Проверим корни уравнения:

Пусть \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n\) - целое число. Подставим в исходное уравнение:

\[4 - 4(\cos(\frac{\pi}{2} + \pi n) - \sin(\frac{\pi}{2} + \pi n)) - \sin(2(\frac{\pi}{2} + \pi n)) = 0\]

Если \(n = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2}\):

\[4 - 4(0 - 1) - 1 = 4 + 4 - 2(0)(1) = 8
e 0\]

Если \(n = 1\), то \(x = \frac{3\pi}{2}\):

\[4 - 4(0 - (-1)) - 0 = 4 - 4(1) - 0 = 4 - 4 = 0\]

Следовательно, \(x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\) является решением.

Тогда решением уравнения является:

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \]