166 ctg(cos 2 πx) = √3

Ответ: \[ x = \pm \frac{1}{12} + n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решение:

Нам дано уравнение:

\[\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3} \cos 2 \pi x\right) = \sqrt{3}\]

Найдем аргумент котангенса:

\[\frac{\pi}{3} \cos 2 \pi x = \operatorname{arcctg} \sqrt{3}\]

Поскольку \( \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \), то:

\[\frac{\pi}{3} \cos 2 \pi x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Разделим обе части на \( \pi \):

\[\frac{1}{3} \cos 2 \pi x = \frac{1}{6} + n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Умножим обе части на 3:

\[\cos 2 \pi x = \frac{1}{2} + 3n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Поскольку \( -1 \leq \cos 2 \pi x \leq 1 \), возможно только при \( n = 0 \), следовательно:

\[\cos 2 \pi x = \frac{1}{2}\]

Тогда:

\[2 \pi x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Разделим обе части на \( 2 \pi \):

\[x = \pm \frac{1}{6} + n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Следовательно:

\[x = \pm \frac{1}{12} + n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[ x = \pm \frac{1}{12} + n, \quad n \in \mathbb{Z} \]