(cos 2x + cos π/4)(cos 2x + 4) = 0.

Решите уравнение и найдите его корни, принадлежащие промежутку [0; π]:

$$(cos 2x + cos \frac{\pi}{4})(cos 2x + 4) = 0$$ $$(cos 2x + \frac{\sqrt{2}}{2})(cos 2x + 4) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $$cos 2x + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$

$$cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$2x = arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k, k \in Z$$ $$2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$$ $$x = \frac{3\pi}{8} + \pi k, k \in Z$$

или

$$2x = -arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k, k \in Z$$ $$2x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$$ $$x = -\frac{3\pi}{8} + \pi k, k \in Z$$

2) $$cos 2x + 4 = 0$$

$$cos 2x = -4$$

Уравнение не имеет решений, так как $$|cos 2x| \le 1$$.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $$[0; \pi]$$:

$$x = \frac{3\pi}{8} + \pi k, k \in Z$$

При k = 0: $$x = \frac{3\pi}{8}$$ (принадлежит промежутку)

При k = 1: $$x = \frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{11\pi}{8}$$ (не принадлежит промежутку)

$$x = -\frac{3\pi}{8} + \pi k, k \in Z$$

При k = 0: $$x = -\frac{3\pi}{8}$$ (не принадлежит промежутку)

При k = 1: $$x = -\frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{5\pi}{8}$$ (принадлежит промежутку)

При k = 2: $$x = -\frac{3\pi}{8} + 2\pi = \frac{13\pi}{8}$$ (не принадлежит промежутку)

Ответ: $$x = \frac{3\pi}{8}, x = \frac{5\pi}{8}$$