3 Решите уравнение и найдите его корни, принадлежащие промежутку [0; π]: (sin 2x + sin π/6)(sin 2x – 3) = 0.

3. Решите уравнение и найдите его корни, принадлежащие промежутку [0; π]:

$$(sin 2x + sin \frac{\pi}{6})(sin 2x – 3) = 0$$ $$(sin 2x + \frac{1}{2})(sin 2x – 3) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $$sin 2x + \frac{1}{2} = 0$$

$$sin 2x = -\frac{1}{2}$$ $$2x = arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in Z$$ $$2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$$ $$x = -\frac{\pi}{12} + \pi k, k \in Z$$

или

$$2x = \pi - arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in Z$$ $$2x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$$ $$2x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$$ $$x = \frac{7\pi}{12} + \pi k, k \in Z$$

2) $$sin 2x - 3 = 0$$

$$sin 2x = 3$$

Уравнение не имеет решений, так как $$|sin 2x| \le 1$$.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $$[0; \pi]$$:

$$x = -\frac{\pi}{12} + \pi k, k \in Z$$

При k = 0: $$x = -\frac{\pi}{12}$$ (не принадлежит промежутку)

При k = 1: $$x = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}$$ (принадлежит промежутку)

При k = 2: $$x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{23\pi}{12}$$ (не принадлежит промежутку)

$$x = \frac{7\pi}{12} + \pi k, k \in Z$$

При k = 0: $$x = \frac{7\pi}{12}$$ (принадлежит промежутку)

При k = 1: $$x = \frac{7\pi}{12} + \pi = \frac{19\pi}{12}$$ (не принадлежит промежутку)

Ответ: $$x = \frac{11\pi}{12}, x = \frac{7\pi}{12}$$