Д 4. Дано: ABCD (рис. 5) — параллелограмм; M — середина BO; N — середина DO. Доказать: AMCN — параллелограмм.

Доказательство:

1. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \( AO = OC \) и \( BO = OD \).

2. По условию, \( M \) — середина \( BO \), значит, \( MO = \frac{1}{2} BO \).

3. По условию, \( N \) — середина \( DO \), значит, \( NO = \frac{1}{2} DO \).

4. Поскольку \( BO = DO \), то \( \frac{1}{2} BO = \frac{1}{2} DO \), следовательно, \( MO = NO \).

5. Рассмотрим четырёхугольник AMCN. Его диагонали — это AC и MN. Диагональ AC проходит через точку О. Диагональ MN проходит через точки M, O, N.

6. Так как \( AO = OC \) (диагонали ABCD делятся пополам), и \( MO = NO \) (доказано выше), то точка О является серединой отрезка MN.

7. Поскольку диагонали четырёхугольника AMCN (AC и MN) пересекаются в точке О и точкой пересечения делятся пополам (О — середина AC и О — середина MN), то четырёхугольник AMCN является параллелограммом по признаку.

Что и требовалось доказать.