д) $$\frac{0.5^2}{0.125^{-3} : 4^{-5}}$$

Решение:

Для начала упростим числитель и знаменатель, представив десятичные дроби в виде обыкновенных или степеней двойки.

Числитель: \( 0.5^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4} = 2^{-2} \).

Знаменатель:

Представим \( 0.125 \) как \( \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} \).

Представим \( 4 \) как \( 2^2 \).

Тогда знаменатель будет:

\[ (2^{-3})^{-3} : (2^2)^{-5} \]

Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\[ (2^{-3})^{-3} = 2^{-3 \cdot (-3)} = 2^9 \]

\[ (2^2)^{-5} = 2^{2 \cdot (-5)} = 2^{-10} \]

Теперь знаменатель выглядит так: \( 2^9 : 2^{-10} \).

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \( a^m : a^n = a^{m-n} \):

\[ 2^9 : 2^{-10} = 2^{9 - (-10)} = 2^{9 + 10} = 2^{19} \]

Теперь исходное выражение выглядит так: \( \frac{2^{-2}}{2^{19}} \).

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ \frac{2^{-2}}{2^{19}} = 2^{-2 - 19} = 2^{-21} \]

Ответ: $$2^{-21}$$.