4(3) Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите угол между прямыми $$AC$$ и $$DC_1$$.

Пусть длина ребра куба равна $$a$$. 1. Рассмотрим векторы $$\vec{AC}$$ и $$\vec{DC_1}$$. 2. Найдем координаты векторов в некоторой системе координат, связанной с кубом. Пусть $$D$$ - начало координат, $$\vec{DA} = (a, 0, 0)$$, $$\vec{DC} = (0, a, 0)$$, $$\vec{DD_1} = (0, 0, a)$$. Тогда $$A = (a, 0, 0)$$, $$C = (0, a, 0)$$, $$C_1 = (0, a, a)$$. $$\vec{AC} = C - A = (0 - a, a - 0, 0 - 0) = (-a, a, 0)$$ $$\vec{DC_1} = C_1 - D = (0 - 0, a - 0, a - 0) = (0, a, a)$$ 3. Вычислим косинус угла между векторами $$\vec{AC}$$ и $$\vec{DC_1}$$: $$\cos{\phi} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{DC_1}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{DC_1}|} = \frac{(-a)(0) + (a)(a) + (0)(a)}{\sqrt{(-a)^2 + a^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + a^2 + a^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{2a^2} \cdot \sqrt{2a^2}} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$$ 4. Найдем угол $$\phi$$: $$\phi = \arccos{\frac{1}{2}} = 60^\circ$$ Ответ: Угол между прямыми AC и DC1 равен 60 градусов.