1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Назовите вектор с началом и концом в вершинах куба, который вместе с двумя данными векторами составлял бы тройку компланарных векторов: a) $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1B_1}$; б) $\vec{AB_1}$ и $\vec{A_1D}$.

a) Чтобы векторы $\vec{A_1B}$, $\vec{A_1B_1}$ и искомый вектор были компланарными, они должны лежать в одной плоскости или быть параллельными одной плоскости. В данном случае, векторы $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1B_1}$ лежат в плоскости $A_1BB_1$. Тогда третий вектор, лежащий в этой же плоскости и имеющий начало и конец в вершинах куба, - это вектор $\vec{A_1A}$. б) Векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{A_1D}$ определяют плоскость. Чтобы найти вектор, компланарный с этими двумя, рассмотрим вектор $\vec{AD_1}$. Векторы $\vec{AB_1}$, $\vec{A_1D}$ и $\vec{AD_1}$ лежат в одной плоскости, и их можно привести к общему началу в точке A, значит, они компланарны. **Ответ:** а) $\vec{A_1A}$ б) $\vec{AD_1}$