2. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ разложите: a) вектор $\vec{AC_1}$ по векторам $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$; б) вектор $\vec{AA_1}$ по векторам $\vec{D_1A_1}$, $\vec{D_1C_1}$ и $\vec{A_1C}$.

a) Вектор $\vec{AC_1}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AC} + \vec{CC_1}$. В свою очередь, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. А $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$. Тогда, $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$. б) Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - параллелепипед, то $\vec{D_1A_1} = \vec{CD} = -\vec{AB}$, $\vec{D_1C_1} = \vec{DC} = -\vec{DA}$, и $\vec{A_1C} = \vec{AC}$. Из предыдущего пункта $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Выразим $\vec{AA_1}$ через данные векторы: $\vec{AA_1} = x \cdot \vec{D_1A_1} + y \cdot \vec{D_1C_1} + z \cdot \vec{A_1C} = x(-\vec{AB}) + y(-\vec{AD}) + z(\vec{AB} + \vec{AD})$ $\vec{AA_1} = (-x + z) \cdot \vec{AB} + (-y + z) \cdot \vec{AD}$ Так как $\vec{AA_1}$ не лежит в плоскости $ABCD$, то коэффициенты при $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ должны быть равны нулю. Значит, $-x + z = 0$ и $-y + z = 0$, следовательно, $x = z$ и $y = z$. Тогда $\vec{A_1C}$ не выражается через $\vec{AA_1}$, $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, из этого следует, что мы не можем разложить вектор $\vec{AA_1}$ по векторам $\vec{D_1A_1}$, $\vec{D_1C_1}$ и $\vec{A_1C}$. Но если подразумевается разложение $\vec{AA_1}$ через другие векторы, то его можно выразить как $\vec{AA_1} = \vec{AA_1} + 0 \cdot \vec{D_1A_1} + 0 \cdot \vec{D_1C_1} + 0 \cdot \vec{A_1C}$. **Ответ:** а) $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$ б) Вектор $\vec{AA_1}$ нельзя разложить по векторам $\vec{D_1A_1}$, $\vec{D_1C_1}$ и $\vec{A_1C}$.