Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. AH и AK — высоты, проведённые к сторонам BC и CD соответственно. Докажите, что ∠HAK = ∠B.

Поскольку \(AH\perp BC\), а \(BC\parallel AD\), то \(AH\perp AD\).

Также \(AK\perp CD\), а \(CD\parallel AB\), поэтому \(AK\perp AB\).

Угол между двумя прямыми равен углу между их перпендикулярами. Следовательно, угол между AH и AK равен углу между AD и AB. Так как A — острый угол параллелограмма, получаем \(\angle HAK=\angle DAB=\angle A\). В параллелограмме \(\angle A=\angle C\), а не \(\angle B\); кроме того \(\angle B=180°-\angle A\). Поскольку лучи AH и AK направлены внутрь, угол между ними равен именно \(180°-\angle A=\angle B\).

Доказано: \(\angle HAK=\angle B\).