9. Дан параллелограмм АВСД. На стороне ВС взята неко- торая точка М. DM пересекает диагональ АС в точке К. Площади треугольников МСК и DCK равны соответствен- но 9 см² и 15 см². Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

Обозначим площадь параллелограмма как \(S_{ABCD}\).

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle MCK\) и \(\triangle DCK\). У них общая высота, проведенная из вершины K к сторонам MC и DC соответственно. Следовательно, отношение их площадей равно отношению длин их оснований:

\(\frac{S_{MCK}}{S_{DCK}} = \frac{MC}{DC}\)

Подставим известные значения: \(\frac{9}{15} = \frac{3}{5} = \frac{MC}{DC}\). Так как \(DC = AB\), то \(\frac{MC}{AB} = \frac{3}{5}\).

2. Рассмотрим треугольники \(\triangle ADM\) и \(\triangle CDM\). Они имеют общую высоту, проведенную из вершины D к стороне AM. Следовательно, отношение их площадей равно отношению длин их оснований:

\(\frac{S_{ADM}}{S_{CDM}} = \frac{AM}{MC}\)

Так как \(BC = AD\), то \(BC = BM + MC = AD\). Из условия \(\frac{MC}{AB} = \frac{3}{5}\) следует, что \(MC = \frac{3}{5}AB\), тогда \(BM = BC - MC = AD - \frac{3}{5}AD = \frac{2}{5}AD\).

3. Площадь треугольника \(\triangle ADC\) равна половине площади параллелограмма, то есть \(S_{ADC} = \frac{1}{2}S_{ABCD}\).

Площадь треугольника \(\triangle CDK\) равна 15 см², значит, площадь треугольника \(\triangle ADK\) можно выразить как разность площадей \(\triangle ADC\) и \(\triangle CDK\): \(S_{ADK} = S_{ADC} - S_{CDK} = \frac{1}{2}S_{ABCD} - 15\).

Площадь треугольника \(\triangle AMC\) можно выразить как разность площадей \(\triangle ADM\) и \(\triangle CDM\): \(S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}S_{ABCD} = \frac{3}{10}S_{ABCD}\)

4. Площадь \(\triangle ADC = 15+9=24\)

Тогда площадь параллелограмма равна: \(S_{ABCD} =24*2 = 48\)

Ответ: 48 см²