3. Дан пространственный четырехугольник ABCD, Ми № середины сторон АВ и ВС соответственно; E ECD, K EDA, DE: EC = 1: 2, DK: KA=1:2. а) Выполните рисунок к задаче. 6) Докажите, что четырехугольник MNEK есть трапеция.

3. Дан пространственный четырехугольник ABCD, M и N - середины сторон AB и BC соответственно; E ∈ CD, K ∈ DA, DE: EC = 1:2, DK: KA = 1:2.

a) Выполните рисунок к задаче.

К сожалению, я не могу нарисовать рисунок. Но вы можете изобразить четырехугольник ABCD, отметить середины сторон AB и BC как M и N соответственно, разделить стороны CD и DA в отношении 1:2 как E и K соответственно и соединить точки M, N, E, K.

б) Докажите, что четырехугольник MNEK есть трапеция.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. MN - средняя линия, следовательно MN || AC и MN = 1/2 AC.

Рассмотрим треугольник ADC. KE не является средней линией, но можно выразить KE через AC и AD. KE не параллельна AC.

Найдем векторы KE и MN и покажем, что они коллинеарны. Если MN || KE, то MNEK - трапеция.

По условию DE: EC = 1:2 и DK: KA = 1:2, следовательно EK || AC.

Так как MN || AC и KE || AC, то MN || KE, следовательно, MNEK - трапеция.