Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. в котором грань ABCD является квадратом. Известно, что АВ = 9, АА1 = 115. Найдите косинус угла между прямыми А₁D и АС.

1. Введем систему координат с началом в точке А, осью x вдоль AB, осью y вдоль AD и осью z вдоль AA1.

2. Тогда координаты точек:

   • A(0, 0, 0)
   • A1(0, 0, \(\sqrt{115}\))
   • D(0, 9, 0)
   • C(9, 9, 0)

3. Координаты векторов:

   • \(\overrightarrow{A_1D} = D - A_1 = (0 - 0, 9 - 0, 0 - \sqrt{115}) = (0, 9, -\sqrt{115})\)
   • \(\overrightarrow{AC} = C - A = (9 - 0, 9 - 0, 0 - 0) = (9, 9, 0)\)

4. Косинус угла между векторами \(\overrightarrow{A_1D}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равен:

   \[cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{A_1D}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}\]

5. Найдем скалярное произведение \(\overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{AC}\):

   \[\overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{AC} = (0 \cdot 9) + (9 \cdot 9) + (-\sqrt{115} \cdot 0) = 0 + 81 + 0 = 81\]

6. Найдем длины векторов:

   • \(|\overrightarrow{A_1D}| = \sqrt{0^2 + 9^2 + (-\sqrt{115})^2} = \sqrt{0 + 81 + 115} = \sqrt{196} = 14\)
   • \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{9^2 + 9^2 + 0^2} = \sqrt{81 + 81 + 0} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}\)

7. Подставим в формулу косинуса:

   \[cos(\alpha) = \frac{81}{14 \cdot 9\sqrt{2}} = \frac{9}{14\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{14 \cdot 2} = \frac{9\sqrt{2}}{28}\]

Ответ: \(\frac{9\sqrt{2}}{28}\)