Дан прямоугольный треугольник ADC, у которого D-прямой, катет AD=3 см и DAC=30°. Найдите: а) остальные стороны ДАРС б) площадь ДАОС в) длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение:

а) Остальные стороны треугольника ADC:

У нас есть прямоугольный треугольник ADC, где \(∠D = 90^\circ\), \( AD = 3 \) см, \(∠DAC = 30^\circ\).

1. Найдем сторону CD (катет, противолежащий углу 30°):

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Однако, у нас нет гипотенузы.

Используем тангенс угла A:

\( رؾ(A) = \frac{CD}{AD} \)

\( رؾ(30^\circ) = \frac{CD}{3} \)

Значение \( رؾ(30^\circ) = \frac{1}{√{3}} = \frac{√{3}}{3} \)

\( \frac{√{3}}{3} = \frac{CD}{3} \)

\( CD = √{3} \) см

2. Найдем гипотенузу AC:

Используем косинус угла A:

\( ؾآ(A) = \frac{AD}{AC} \)

\( ؾآ(30^\circ) = \frac{3}{AC} \)

Значение \( ؾآ(30^\circ) = \frac{√{3}}{2} \)

\( \frac{√{3}}{2} = \frac{3}{AC} \)

\( AC = \frac{3 × 2}{√{3}} = \frac{6}{√{3}} = \frac{6√{3}}{3} = 2√{3} \) см

Ответ: CD = \(√{3}\) см, AC = \(2√{3}\) см.

б) Площадь треугольника ADC:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

\( S_{ADC} = \frac{1}{2} × AD × CD \)

\( S_{ADC} = \frac{1}{2} × 3 × √{3} = \frac{3√{3}}{2} \) см²

Ответ: \(\frac{3√{3}}{2}\) см².

в) Длина высоты, проведенной к гипотенузе:

Пусть \( h_b \) — высота, проведенная к гипотенузе AC.

Площадь треугольника можно также выразить как:

\( S_{ADC} = \frac{1}{2} × AC × h_b \)

Мы уже нашли площадь \( S_{ADC} = \frac{3√{3}}{2} \) и гипотенузу \( AC = 2√{3} \).

\( \frac{3√{3}}{2} = \frac{1}{2} × 2√{3} × h_b \)

\( \frac{3√{3}}{2} = √{3} × h_b \)

\( h_b = \frac{3√{3}}{2√{3}} = \frac{3}{2} = 1.5 \) см

Ответ: 1.5 см.