В прямоугольной трапеции АВСД боковая сторона равна АВ=10 см, большее основание Д=18 см, ∠А=45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

В прямоугольной трапеции ABCD, где AB — боковая сторона, а AD — большее основание, угол ∠A = 45°.

Так как трапеция прямоугольная, сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC. Следовательно, AB является высотой трапеции, то есть \( h = AB = 10 \) см.

Нам дано большее основание \( AD = 18 \) см.

Чтобы найти площадь трапеции, нам нужно знать длину меньшего основания BC.

Проведем высоту из вершины C к основанию AD. Пусть точка пересечения будет H. Тогда CH = AB = 10 см, а BH = AD = 18 см. Получится прямоугольник ABCH.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Ой, это неверно. Давайте проведем высоту из вершины B на основание AD. Пусть эта точка будет E. Тогда ABED - прямоугольник. BE = AD = 18. Это тоже неверно.

Давайте начнем заново. В прямоугольной трапеции ABCD, AB — высота. Угол A = 45°.

Проведем высоту из вершины C к основанию AD. Пусть она пересекает AD в точке E. Тогда ABCE — прямоугольник, и CE = AB = 10 см. Также BC = AE.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CED. Угол CED = 90°.

У нас дано, что ∠A = 45°. Поскольку AB || CD, это неверно. AB — высота.

По условию, ABCD — прямоугольная трапеция. AB — высота. Основания AD и BC. ∠A = 45°. Дано большее основание AD = 18 см. Боковая сторона AB = 10 см.

Значит, AB — это высота, \( h = 10 \) см.

Проведем высоту из вершины C к основанию AD. Пусть она пересекает AD в точке E. Тогда ABCE — прямоугольник. CE = AB = 10 см, AE = BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CED. Угол CED = 90°.

Угол D = ? В трапеции ABCD, AB перпендикулярно AD. ∠A = 90°. Это неверно. Угол A = 45°.

Дано: ABCD - прямоугольная трапеция. AB — боковая сторона, которая является высотой, так как она перпендикулярна основаниям. Значит, ∠DAB = 90°.

НО в условии сказано ∠A = 45°. Это противоречие. Давайте предположим, что ∠D = 45°.

Если ∠D = 45°, то проведем высоту CE из C на AD. Тогда CE = AB = 10 см. В прямоугольном треугольнике CED, ∠CED = 90°, ∠D = 45°. Следовательно, ∠ECD = 180° - 90° - 45° = 45°.

Треугольник CED — равнобедренный, следовательно, ED = CE = 10 см.

Мы знаем, что AD = 18 см. AD = AE + ED. Поскольку ABCE — прямоугольник, AE = BC.

18 = BC + 10

BC = 18 - 10 = 8 см.

Теперь у нас есть оба основания: \( AD = 18 \) см и \( BC = 8 \) см, и высота \( h = AB = 10 \) см.

Площадь трапеции находится по формуле:

\( S = \frac{a + b}{2} × h \)

\( S = \frac{18 + 8}{2} × 10 = \frac{26}{2} × 10 = 13 × 10 = 130 \) см²

Ответ: 130 см².