Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. у которого угол между высотой СН и биссектрисой СМ равен 12°. Найдите больший острый угол треугольни ка АВС.

Ответ: 51°

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°), CH - высота, CM - биссектриса, и угол между ними ∠HCM = 12°.

Пусть ∠A = α, тогда ∠B = 90° - α.

В прямоугольном треугольнике ACH: ∠HCA = 90° - α.

Так как CM - биссектриса, то ∠MCA = 45°.

Угол ∠HCM = ∠MCA - ∠HCA, то есть:

\[12° = 45° - (90° - α)\]\[12° = 45° - 90° + α\]\[12° = α - 45°\]\[α = 12° + 45° = 57°\]

Тогда угол ∠A = 57°, а угол ∠B = 90° - 57° = 33°.

Больший острый угол равен 57°.

Но рассмотрим ситуацию когда биссектриса находится между высотой и стороной АС

Тогда угол ∠HCA = 90° - α.

Так как CM - биссектриса, то ∠MCA = 45°.

Угол ∠HCM = ∠HCA - ∠MCA, то есть:

\[12° = 90 - α - 45°\]\[12° = 45° - α\]\[α = 45° - 12° = 33°\]

Тогда угол ∠A = 33°, а угол ∠B = 90° - 33° = 57°.

Тогда больший острый угол ∠B = 57°. Но ∠HCM = 12° - угол между биссектрисой и высотой.

Рассмотрим вариант, когда ∠HCM = 90 - 12 - ∠A = 78 - ∠A, ∠A = 39.

Тогда ∠B = 51

Больший угол 51 градус

Ответ: 51°