3. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ = 6 и боковой стороной, равной 5. Точка М, не принадлежащая плоскости АВС, находится на расстоянии 6,25 от каждой из вершин треугольника АВС. Найти расстояние от точки М до плоскости АВС.

Рассмотрим решение данной задачи.

1. Пусть МО - перпендикуляр к плоскости АВС, О - основание перпендикуляра. По условию МА = МВ = МС = 6,25. Следовательно, $$\\\triangle$$МАО = $$\\triangle$$МВО = $$\\triangle$$МСО (по катету и гипотенузе). Тогда АО = ВО = СО, т.е. точка О - центр описанной около $$\\triangle$$АВС окружности.

2. Найдем радиус описанной окружности около $$\\triangle$$АВС:

По формуле: R = $$\frac{abc}{4S}$$, где а, b, с - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

В нашем случае: R = $$\frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4S}$$.

Необходимо найти площадь треугольника. Т.к. $$\\triangle$$АВС - равнобедренный, то высота, проведенная к основанию, является и медианой.

Пусть СН - высота, тогда АН = ВН = 3. Рассмотрим $$\\triangle$$ACH - прямоугольный: по теореме Пифагора СН = $$\\sqrt{AC^2-AH^2}$$. CH = $$\\sqrt{5^2-3^2}$$. CH = 4. S = 1/2 * AB * CH = 1/2 * 6 * 4 = 12.

Тогда R = $$\frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12}$$. R = $$\frac{25}{8}$$. R = 3,125.

3. Рассмотрим $$\\triangle$$МСО - прямоугольный: по теореме Пифагора МО = $$\\sqrt{MC^2-OC^2}$$. MO = $$\\sqrt{6,25^2-3,125^2}$$. MO = 5,41 (примерно).

Ответ: примерно 5,41