2. Из некоторой точки проведены к данной плоскости две равные наклонные, угол между ними равен 60°, а угол между их проекциями прямой. Найдите угол между каждой наклонной и ее проекцией.

Рассмотрим решение данной задачи.

Пусть А - данная точка, АВ и АС - равные наклонные, О - основание перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости, ОВ и ОС - проекции наклонных АВ и АС, $$\angle$$BAC = 60°, $$\angle$$BOC = 90°. Необходимо найти угол между каждой наклонной и ее проекцией, т.е. $$\angle$$ABO и $$\angle$$ACO.

1. Рассмотрим $$\triangle$$BOC: он прямоугольный, пусть ОВ = ОС = х. Тогда по теореме Пифагора:

$$\begin{aligned} &BC^2 = OB^2 + OC^2 \\ &BC^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \\ &BC = \sqrt{2}x \end{aligned}$$

2. Рассмотрим $$\triangle$$ABC: по теореме косинусов:

$$\begin{aligned} &BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos \angle BAC \\ &Т.к. AB = AC, то пусть AB = AC = y \\ &2x^2 = y^2 + y^2 - 2 \cdot y \cdot y \cdot cos 60^\circ \\ &2x^2 = 2y^2 - 2y^2 \cdot \frac{1}{2} \\ &2x^2 = 2y^2 - y^2 \\ &2x^2 = y^2 \\ &y = \sqrt{2}x \end{aligned}$$

Следовательно, AB = AC = $$\sqrt{2}x$$.

3. Рассмотрим $$\triangle$$AOB: он прямоугольный, sin$$\angle$$ABO = AO/AB

По теореме Пифагора:

$$\begin{aligned} &AO^2 = AB^2 - OB^2 \\ &AO^2 = (\sqrt{2}x)^2 - x^2 = 2x^2 - x^2 = x^2 \\ &AO = x \end{aligned}$$

Следовательно, sin$$\angle$$ABO = x/$$\sqrt{2}x$$ = 1/$$\sqrt{2}$$, $$\angle$$ABO = 45°.

4. Т.к. $$\triangle$$ACO = $$\triangle$$ABO, то $$\angle$$ABO = $$\angle$$ACO = 45°.

Ответ: 45°