1. Из некоторой точки А проведены к данной плоскости перпендикуляр АО = 1 и две равные наклонные АВ и АС, которые образуют с перпендикуляром углы ∠BAO = ∠CAO = 60°, а между собой угол ∠CAB = 90°. Найти расстояние ВС между основаниями наклонных.

Рассмотрим решение данной задачи.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle$$ АОВ и $$\triangle$$ АОС. В них АО - общий катет, АВ = АС (по условию), $$\angle$$BAO = $$\angle$$CAO = 60° (по условию). Следовательно, $$\triangle$$ АОВ =$$\triangle$$ АОС (по катету и острому углу). Тогда ОВ = ОС.

2. В прямоугольном $$\triangle$$ АОВ tg$$\angle$$BAO = OB/AO, OB = AO$$\cdot$$tg$$\angle$$BAO = 1$$\cdot$$tg60° = $$\sqrt{3}$$. Следовательно, OC = $$\sqrt{3}$$.

3. Рассмотрим $$\triangle$$BOC. ОВ = ОС, следовательно, $$\triangle$$BOC - равнобедренный. По теореме косинусов:

$$\begin{aligned} &BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot cos \angle BOC \\ &Т.к. \angle CAB = 90^\circ, то \triangle ABC - прямоугольный равнобедренный, следовательно OB = OC, \angle BOC = 90^\circ \\ &BC^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot cos 90^\circ \\ &BC^2 = 3 + 3 - 2 \cdot 3 \cdot 0 = 6 \\ &BC = \sqrt{6} \end{aligned}$$

Ответ: $$\sqrt{6}$$