4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от каждой вершины треугольника на расстояние 10 см. Найти расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Рассмотрим решение данной задачи.

Пусть дан прямоугольный $$\triangle$$АВС, $$\angle$$С = 90°, АВ = 12 см - гипотенуза. Точка М находится вне плоскости треугольника и удалена от каждой вершины на расстояние 10 см. Пусть МО - перпендикуляр к плоскости $$\\triangle$$АВС, О - основание перпендикуляра. Тогда МА = МВ = МС = 10 см. Необходимо найти расстояние от точки М до плоскости треугольника, т.е. МО.

1. Рассмотрим $$\\triangle$$МАО, $$\\triangle$$МВО, $$\\triangle$$МСО - прямоугольные. В них МО - общий катет, МА = МВ = МС (по условию). Следовательно, $$\\triangle$$МАО = $$\\triangle$$МВО = $$\\triangle$$МСО (по катету и гипотенузе). Тогда АО = ВО = СО. Следовательно, точка О - центр окружности, описанной около $$\\triangle$$АВС.

2. Т.к. $$\\triangle$$АВС - прямоугольный, то центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Следовательно, АО = ВО = СО = 1/2 * АВ = 1/2 * 12 = 6 см.

3. Рассмотрим $$\\triangle$$МСО - прямоугольный: по теореме Пифагора МО = $$\\sqrt{MC^2-OC^2}$$. MO = $$\\sqrt{10^2-6^2}$$. MO = 8 см.

Ответ: 8 см