10. Дан треугольник ABC со сторонами AC = 6, BC = 8, AB = 10. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника.

Решение: Сначала проверим, является ли треугольник прямоугольным: AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = AB^2. Значит, треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом C. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы. Значит, радиус описанной окружности R = AB / 2 = 10 / 2 = 5. Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис. Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике можно найти по формуле: r = (a + b - c) / 2, где a и b - катеты, c - гипотенуза. r = (6 + 8 - 10) / 2 = 4 / 2 = 2. Координаты вершин треугольника: C(0, 0), A(6, 0), B(0, 8). Центр описанной окружности O находится в середине гипотенузы AB. Координаты O: ((6 + 0) / 2, (0 + 8) / 2) = (3, 4). Координаты центра вписанной окружности I(r, r) = (2, 2). Расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей d = sqrt((3 - 2)^2 + (4 - 2)^2) = sqrt(1^2 + 2^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5). Ответ: sqrt(5)