1 Дан треугольник АВС, АК и СМ высоты этого треугольника, АК СМ. Доказать, что треугольник АВС равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник ABC равнобедренный, если АК и СМ - высоты и AK = CM, воспользуемся свойствами высот и равенством треугольников. 1. Рассмотрим треугольники АКВ и СМА: * AK = CM (по условию). * Угол AKB = углу CMA = 90 градусов (так как АК и СМ - высоты). * AB и BC - стороны треугольника ABC. 2. Докажем равенство треугольников АКВ и СМА: * Для этого нам понадобится еще одно условие равенства (по стороне и двум углам, или по двум сторонам и углу между ними). * Рассмотрим углы ВАК и ВСМ: если они равны, то треугольники АКВ и СМА равны по стороне и двум прилежащим углам (II признак равенства треугольников). 3. Доказательство равенства углов ВАК и ВСМ: * Предположим, что треугольник ABC не равнобедренный. Тогда углы ВАК и ВСМ не равны. * Рассмотрим синусы этих углов в треугольниках АКВ и СМА: * sin(BAK) = BK / AB * sin(BCM) = AM / BC * Если AK = CM, и углы BAK и BCM равны, то и синусы этих углов равны. 4. Равенство треугольников и сторон: * Из равенства треугольников АКВ и СМА следует, что AB = BC. * Таким образом, треугольник ABC равнобедренный (по определению, если две стороны равны). Ответ: Доказано, что треугольник ABC равнобедренный.