4. Дана четырёхугольная пирамида, высота которой 6 см. На расстоянии 4 см от вершины пирамиды проведена плоскость параллельная основанию. Найти площадь поверхности и объём пирамиды, если площадь поверхности полученной пирамиды равна 25 см², а объём равен 53 см³.

Краткая запись:

• Высота пирамиды: 6 см
• Расстояние от вершины до плоскости: 4 см
• Площадь поверхности малой пирамиды: 25 см²
• Объём малой пирамиды: 53 см³
• Найти: Площадь поверхности и объём большой пирамиды

Решение:

• Отношение высот: \( k = \frac{h_{мал}}{h_{бол}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
• Отношение площадей: \( \frac{S_{мал}}{S_{бол}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} \)
• Площадь поверхности большой пирамиды: \( S_{бол} = \frac{S_{мал}}{k^2} = \frac{25}{\frac{4}{9}} = 25 \cdot \frac{9}{4} = \frac{225}{4} = 56.25 \) см²
• Отношение объёмов: \( \frac{V_{мал}}{V_{бол}} = k^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27} \)
• Объём большой пирамиды: \( V_{бол} = \frac{V_{мал}}{k^3} = \frac{53}{\frac{8}{27}} = 53 \cdot \frac{27}{8} = \frac{1431}{8} = 178.875 \) см³

Ответ: Площадь поверхности большой пирамиды: 56.25 см², объём большой пирамиды: 178.875 см³