5. По стороне основания и высоте h найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной

1) Треугольная пирамида:

• В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник. Центр основания (точка пересечения медиан) делит высоту основания в отношении 2:1, считая от вершины.
• Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \)
• Апофема: \( l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{h^2 + (\frac{a \sqrt{3}}{6})^2} = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} \)

2) Четырехугольная пирамида:

• В правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат. Центр основания — точка пересечения диагоналей.
• Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{a}{2} \)
• Апофема: \( l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} \)

3) Шестиугольная пирамида:

• В правильной шестиугольной пирамиде основание — правильный шестиугольник. Центр основания — центр шестиугольника.
• Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{a \sqrt{3}}{2} \)
• Апофема: \( l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{h^2 + (\frac{a \sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{h^2 + \frac{3a^2}{4}} \)