194. Дана функция у = f(x), где f(x)=\begin{cases} \sin (x+\frac{\pi}{2}), если -\frac{3\pi}{2}<x<0, \\ x+1, если 0<x<2, \\ -\sqrt{x-2}+3, если x>2.\end{cases} а) Вычислите: f(0), f(6), f(-π- 2); б) постройте график функции у = f (x); в) прочитайте график функции у = f (x).

a) Вычислим значения функции:

Для вычисления f(0) нужно выбрать функцию, определенную на интервале 0 < x < 2, т.е. f(x) = x + 1. Тогда f(0) = 0 + 1 = 1.

Для вычисления f(6) нужно выбрать функцию, определенную при x > 2, т.е. f(x) = -√(x - 2) + 3. Тогда f(6) = -√(6 - 2) + 3 = -√4 + 3 = -2 + 3 = 1.

Для вычисления f(-π - 2) нужно выбрать функцию, определенную на интервале -3π/2 < x < 0, т.е. f(x) = sin(x + π/2). -π ≈ -3.14, значит, -π - 2 ≈ -5.14. Поскольку -3π/2 ≈ -4.71, то -π - 2 < -3π/2, и данная функция не определена в этой точке.

Итак, f(-π - 2) не существует.

б) График функции:

в) Прочитаем график функции у = f (x):

• Функция определена на \(-\frac{3\pi}{2};0) \cup (0;+\infty)\).
• Функция непрерывна на области определения, за исключением точки x = 0, где существует разрыв первого рода.
• Функция возрастает на интервале (0; 2).
• Функция убывает на интервале (2; +∞).
• Функция имеет максимум в точке x = 2, f(2) = 3.
• При x стремящемся к +∞, f(x) стремится к -∞.

Ответ: a) f(0) = 1, f(6) = 1, f(-π - 2) не существует; б) - см. график; в) - см. описание.