Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Центр основания — точка О. Отрезок SO перпендикулярен плоскости основания. Известно, что сторона основания равна 6, а угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен 60°. Найдите длину отрезка SO.

Решение:

Логика такая: В правильной шестиугольной пирамиде основание — правильный шестиугольник. Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания — это угол между высотой боковой грани и ее проекцией на плоскость основания.

Обозначим сторону основания как \(a = 6\). Центр основания — точка O. Рассмотрим треугольник, образованный высотой боковой грани (h), отрезком SO и проекцией высоты боковой грани на плоскость основания (r).

Проекция высоты боковой грани на плоскость основания — это радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник. Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник равен \(r = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3}\).

Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен 60°. Тогда \(\tan(60°) = \frac{SO}{r}\), значит, \(SO = r \cdot \tan(60°) = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9\).

Ответ: 9