5 Дана правильная 6-угольная пирамида. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. В данной задаче известна длина бокового ребра пирамиды, равная 8, и угол между боковым ребром и основанием, равный 75°. Для решения задачи необходимо найти периметр основания и апофему пирамиды.

Так как пирамида правильная 6-угольная, то в основании лежит правильный шестиугольник, все стороны которого равны. Найдем сторону основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, высотой пирамиды и отрезком, соединяющим вершину основания с основанием высоты пирамиды (центром основания). Обозначим сторону основания через a. Угол между боковым ребром и основанием равен 75°. Тогда:

$$ cos(75°) = \frac{a/2}{8} $$ $$ a = 16 \cdot cos(75°) $$

Периметр основания равен:

$$ P = 6a = 6 \cdot 16 \cdot cos(75°) = 96 \cdot cos(75°) $$

Найдем апофему пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой пирамиды, высотой пирамиды и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания. Обозначим апофему через l. Угол между апофемой и основанием равен углу между боковой гранью и основанием. Этот угол неизвестен. Поэтому найдем апофему другим способом. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Каждая боковая грань - равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной 8, и основанием, равным $$16 \cdot cos(75°)$$. Высота боковой грани (апофема) может быть найдена по теореме Пифагора:

$$ l^2 = 8^2 - (8 \cdot cos(75°))^2 $$ $$ l = \sqrt{64 - 64 \cdot cos^2(75°)} = 8 \cdot \sqrt{1 - cos^2(75°)} = 8 \cdot sin(75°) $$

Площадь одной боковой грани равна:

$$ S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot cos(75°) \cdot 8 \cdot sin(75°) = 64 \cdot cos(75°) \cdot sin(75°) $$

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

$$ S_{бок} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 64 \cdot cos(75°) \cdot sin(75°) = 384 \cdot cos(75°) \cdot sin(75°) $$ $$ S_{бок} = 192 \cdot sin(150°) = 192 \cdot \frac{1}{2} = 96 $$

Ответ: 96