8 Найдите угол между прямыми AD и ВС.

Прямые AD и BC - скрещивающиеся прямые. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым. Так как AK = KC и BK = KD, то AKCD и BKDA - параллелограммы. Значит AK || BC и AK || AD.

Пусть M - середина AC. Тогда AM = MC = 12. Так как AK = KC, то K - середина MC, а значит MK = KC/2 = 6.

Рассмотрим треугольник AKD. Известны все стороны: AK = 12, KD = 13, AD = 10.

По теореме косинусов:

$$ AD^2 = AK^2 + KD^2 - 2 \cdot AK \cdot KD \cdot cos(\angle AKD) $$ $$ 10^2 = 12^2 + 13^2 - 2 \cdot 12 \cdot 13 \cdot cos(\angle AKD) $$ $$ 100 = 144 + 169 - 312 \cdot cos(\angle AKD) $$ $$ 312 \cdot cos(\angle AKD) = 144 + 169 - 100 = 213 $$ $$ cos(\angle AKD) = \frac{213}{312} = \frac{71}{104} $$ $$ \angle AKD = arccos(\frac{71}{104}) \approx 46.9° $$

Угол между прямыми AD и BC равен углу между прямыми AK и KD, то есть углу AKD.

Угол между прямыми AK и KD равен arccos(71/104) или примерно 46.9°.

Угол между прямыми AD и BC также может быть равен смежному углу с углом AKD, то есть 180° - arccos(71/104) или примерно 133.1°.

В геометрии обычно рассматривают меньший из углов, поэтому ответ будет примерно 46.9°.

Ответ: $$arccos(\frac{71}{104})$$