Дана равнобедренная трапеция с основаниями 3 см и 7 см, в которую вписана окружность. Найдите площадь трапеции.

Пусть a = 3 см, b = 7 см - основания равнобедренной трапеции. Так как в трапецию вписана окружность, то сумма боковых сторон равна сумме оснований: $$c + c = a + b$$, где c - боковая сторона. $$2c = 3 + 7 = 10$$, следовательно, $$c = 5$$ см. Высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности. Найдем высоту трапеции. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника. Отрезок большего основания, заключенный между основаниями высот, равен меньшему основанию (3 см). Тогда на два прямоугольных треугольника приходится 7 - 3 = 4 см, то есть на один треугольник приходится 2 см. Высоту найдем по теореме Пифагора: $$h = \sqrt{c^2 - (\frac{b-a}{2})^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{7-3}{2})^2} = \sqrt{25 - 2^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}$$ см. Площадь трапеции: $$S = \frac{a + b}{2} * h = \frac{3 + 7}{2} * \sqrt{21} = \frac{10}{2} * \sqrt{21} = 5\sqrt{21}$$ см². Ответ: $$5\sqrt{21}$$ см²