Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием, равным 10см, и боковой стороной, равной 13см.

Пусть a = 10 см - основание, b = 13 см - боковая сторона равнобедренного треугольника. Найдем высоту h, проведенную к основанию. Она также является медианой. По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ см. Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} * a * h = \frac{1}{2} * 10 * 12 = 60$$ см². Полупериметр треугольника: $$p = \frac{a + 2b}{2} = \frac{10 + 2 * 13}{2} = \frac{10 + 26}{2} = \frac{36}{2} = 18$$ см. Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$$ см. Ответ: $$\frac{10}{3}$$ см или $$3\frac{1}{3}$$ см