08 Дана задача: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 29 см, а один из катетов на 1 см больше другого. Чему равны катеты?» а) Составьте систему уравнений по условию задачи. 6) Дайте ответ на вопрос задачи, выполнив необходимые вычис ления.

Решение варианта 3, задание 3:

Пошаговое решение:

1. Пусть \( a \) и \( b \) – катеты треугольника, где \( a > b \), и \( c \) – гипотенуза. Тогда:
   • \( c = 29 \) см
   • \( a = b + 1 \) см
2. По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
3. Составим систему уравнений:
   • \( a = b + 1 \)
   • \( a^2 + b^2 = 29^2 \)
4. Подставим первое уравнение во второе: \[ (b + 1)^2 + b^2 = 841 \]
5. Раскроем скобки и упростим: \[ b^2 + 2b + 1 + b^2 = 841 \]
6. Приведем к квадратному уравнению: \[ 2b^2 + 2b - 840 = 0 \]
7. Разделим на 2: \[ b^2 + b - 420 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение: \[ D = 1^2 - 4 Imes 1 Imes (-420) = 1 + 1680 = 1681 \]
9. Найдем корни: \[ b_1 = \frac{-1 + \sqrt{1681}}{2} = \frac{-1 + 41}{2} = 20, \quad b_2 = \frac{-1 - \sqrt{1681}}{2} = \frac{-1 - 41}{2} = -21 \]
10. Так как длина не может быть отрицательной, то \( b = 20 \) см.
11. Тогда \( a = b + 1 = 20 + 1 = 21 \) см.

Ответ: Катеты равны 20 см и 21 см.