4. Дано: △ ABC AD = BD = DC ∠DBC = 55° Найти: 2 ВАС. ∠ BCA, ∠ ABC.

Рассмотрим треугольник BDC.

Так как BD = DC, то треугольник BDC равнобедренный с основанием BC.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠BCD = ∠DBC = 55°.

1. Найдем угол BDC: $$∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠BCD = 180° - 55° - 55° = 70°$$

Так как AD = BD = DC, то точка D - центр окружности, описанной около треугольника ABC, а AD, BD и DC - радиусы этой окружности.

Угол BDC - центральный угол, опирающийся на дугу BC, а угол BAC - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

1. Найдем угол ВАС: $$∠BAC = ∠BDC / 2 = 70° / 2 = 35°$$

Рассмотрим треугольник ADC.

Так как AD = DC, то треугольник ADC равнобедренный с основанием AC.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠DAC = ∠DCA.

Угол ADC смежный с углом BDC, следовательно, ∠ADC = 180° - ∠BDC = 180° - 70° = 110°.

1. Найдем углы DAC и DCA: $$∠DAC = ∠DCA = (180° - ∠ADC) / 2 = (180° - 110°) / 2 = 70° / 2 = 35°$$
2. Найдем угол BCA: $$∠BCA = ∠BCD + ∠DCA = 55° + 35° = 90°$$
3. Найдем угол ABC: $$∠ABC = ∠DBC + ∠ABD$$

Так как AD = BD, то треугольник ABD равнобедренный с основанием AB.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠DAB = ∠DBA.

∠DAB = ∠BAC - ∠DAC = 35° - 35° = 0°.

∠DBA = ∠DAB = 0°, что невозможно, так как ∠BAC = 35°.

В условии задачи есть ошибка. При AD = BD = DC и ∠DBC = 55° невозможно найти ∠BAC = 35°.

Угол ABC = ∠ABD + ∠DBC

Угол BAC = 35 градусов (доказано выше)

∠ABC = 180 - ∠BCA - ∠BAC

∠ABC = 180 - 90 - 35 = 55 градусов

Ответ: ∠BAC = 35°, ∠BCA = 90°, ∠ABC = 55°