(57) Дано: α ⊥ β, AB ⊥ BD, CD ⊥ BD, AB = 3, BD=6, CD=2. Найти: АС.

Рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный, так как AB ⊥ BD. По теореме Пифагора:

$$AD^2 = AB^2 + BD^2$$

$$AD^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$$

$$AD = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

Рассмотрим треугольник CBD. Он прямоугольный, так как CD ⊥ BD. По теореме Пифагора:

$$BC^2 = CD^2 + BD^2$$

$$BC^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$$

$$BC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$

Рассмотрим треугольник ACD. Так как α ⊥ β, то AB ⊥ β и CD ⊥ β, значит, AB || CD. Следовательно, углы ABD и CDB прямые, и плоскости ABD и CDB лежат в одной плоскости. Угол ADB прямой, угол CDB прямой, значит, ADC не является прямым углом. Угол ACB тоже не прямой.

Рассмотрим треугольник ABC.

$$AC^2 = AD^2 + DC^2$$

Рассмотрим треугольник ABC. Угол CBD прямой, значит, ABC не является прямым углом.

Так как плоскости α и β перпендикулярны, и AB и CD перпендикулярны BD, то AD и BC лежат в разных плоскостях относительно BD. Поэтому треугольник ABC не лежит в одной плоскости.

Чтобы найти AC, рассмотрим пространственную фигуру. A, B, C и D образуют фигуру, близкую к тетраэдру. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и CBD.

Рассмотрим треугольник ABC. Найдем AC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(∠ABC)$$

Не хватает данных для нахождения угла ABC.

Найдем AC, рассматривая четырехугольник ABCD как пространственную фигуру. Дополним рисунок, проведя перпендикуляр CE к плоскости α. Тогда AE = BD = 6.

Проведем AE || BD, тогда AECD - параллелограмм. AE = BD = 6, AD = EC. Рассмотрим треугольник AEC. Угол AEC прямой. Тогда

$$AC^2 = AE^2 + EC^2$$

Чтобы найти EC, рассмотрим треугольник CED, CE = AD. Тогда AD = √(3² + 6²) = √45. EC = √45

$$AC^2 = AE^2 + EC^2 = 6^2 + (\sqrt{45})^2 = 36 + 45 = 81$$

$$AC = \sqrt{81} = 9$$

Ответ: 9